Produit d'un vecteur de l'espace par un réel

Définition

Soit \(\overrightarrow{u}\)  un vecteur non nul de l'espace et \(k\) un réel non nul. On définit le vecteur \(k\overrightarrow{u}\) de la façon suivante :

• le vecteur  \(k\overrightarrow{u}\) a la même direction que le vecteur \(\overrightarrow{u}\) ;
  
• si \(k\) est strictement positif, alors le vecteur \(k\overrightarrow{u}\) a le même sens que le vecteur \(\overrightarrow{u}\)  et, si \(k\) est strictement négatif, alors le   vecteur  \(k\overrightarrow{u}\) a le sens contraire du vecteur \(\overrightarrow{u}\) ;
  
• le vecteur  \(k\overrightarrow{u}\) a pour  norme \(\left|k\right|\times\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert\) .

Remarque

Soit  \(\overrightarrow{u}\)  un vecteur de l'espa ce et  \(k\) un réel.  On a : \(0\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\) .

Définition

Soit \(\overrightarrow{u}\)  un vecteur de l'espace. Alors le vecteur \(-\overrightarrow{u}\) est défini par \((-1)\overrightarrow{u}\) .

 Propriété

Soit \(\overrightarrow{u}\)  et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs de l'espace. Soit \(k\) et \(k'\) deux réels. Alors on a :

• \(\overrightarrow{u}​​+(-\overrightarrow{u}​​)=\overrightarrow{u}​​-\overrightarrow{u}​​=\overrightarrow{0}​​​​\)
  
• \(k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\) si et seulement si  \(k=0\)  ou  \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\)
  
• \(k(k'\overrightarrow{u})=(kk')\overrightarrow{u}\)
  
• \((k+k')\overrightarrow{u} =k\overrightarrow{u}+k'\overrightarrow{u}\)
  
• \(k(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=k\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{v}\)  
  

Définition

Soit  \(\overrightarrow{u}\)  et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs non nuls de l'espace. On dit que \(\overrightarrow{u}\)   et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires s'ils ont la même direction, c'est-à-dire s'il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}\) ou \(\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}\) .
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l'espace.